Содержание учебника должно быть современным

В течение многих десятилетий в нашей школе стабильным был учебник А.П. Киселева, дополненный задачником Н.А.Рыбкина. Написанный опытным педагогом, он выдержал испытание временем. Мы выросли на этом учебнике, поэтому мы любим этот учебник. Вообще, век школьного учебника недолог, этот же пережил свое время. Совсем недавно его переиздали вновь.

Однако времена менялись, менялись и цели обучения, требовался новый учебник. К тому же за долгие годы использования учебников А.П.Киселева в них нашли массу недостатков. К началу моей работы в школе геометрию уже изучали по учебнику Н.Н.Никитина. Вспоминается, что это был упрощенный вариант учебника А.П.Киселева. С тех пор учебники меняются достаточно часто. В наше время вряд ли можно создать учебник, которым будут пользоваться десятилетиями.

В соответствии с традицией материал в учебнике А.П.Киселева излагается по Евклиду. Как известно, Евклиду блестяще удалось придумать систему расположения геометрических фактов, а «Начала» Евклида считаются первым учебником геометрии. И было это более 2300 лет тому назад.

По Евклиду фактически излагается материал и в современных учебниках геометрии. Парадоксальная ситуация! Имея в виду, что к началу систематического изучения геометрии наши школьники имеют большой запас знаний о формах и размерах окружающих их предметов, известный математик Н.М.Бескин в свое время иронически заметил, что, излагая геометрию по Евклиду, мы наших школьников поднимаем с уровня древних египтян до уровня древних греков! Складывается ложное впечатление, что геометрия давным-давно остановилась в своем развитии.

 В то же время при изучении любого другого учебного предмета школьники так или иначе знакомятся с достижениями современной науки. Более того, в связи с новыми научными открытиями некоторые учебные предметы (биология, химия и др.) построены принципиально иначе. Интересно проследить, как изменилась школьная алгебра. Понятие функции (возникшее в математике в 17 веке) в этот курс было впервые введено в начале 20 века. Это был некий дополнительный раздел курса, фактически не связанный с другими темами. Но наличие этого раздела имело принципиальное значение: школьникам нужно и можно рассказать о таком важном математическом понятии. Прошло сто лет, и теперь можно констатировать, что понятие функции стало ведущей идеей школьного курса алгебры (особенно ярко это подчеркнуто в учебниках А.Г.Мордковича).

Это был путь поисков и находок. Помню, как в шестидесятые годы понятие производной несколько раз вводилось в школьную программу, а потом благополучно исчезало из нее. Вопрос об изучении производной в школе решился окончательно, как только для нее было найдено подходящее место: если изучать производную не в последнем классе, то появляется возможность показать школьникам ее применения.

С геометрией, к сожалению, так не получается. Конечно, и в школьной геометрии появились новые темы: векторы, координаты, геометрические преобразования. В связи с этим вспоминается, что в шестидесятые годы дополнительно к учебнику Никитина был издана книжка В.Г.Болтянского и И.М.Яглома «Геометрические преобразования». Но роль этих тем весьма и весьма ограничена, и, к сожалению, те сведения, которые получают ученики по этим темам, практически не находят применения в курсе геометрии. Еще одна парадоксальная ситуация: факты есть, но они не нужны. (Кстати, складывается впечатление, что авторы излагают эти темы либо потому, что этого требует государственная программа, либо как вспомогательный материал для изучения физики, Но не потому, что эти темы представляют особый интерес в математической науке.)

Известно, что были попытки коренным образом изменить ситуацию. В семидесятые годы мы изучали геометрию, написанную под идейным руководством академика А.Н.Колмогорова. В основе этой геометрии лежали геометрические преобразования. О целесообразности такого изложения школьной геометрии было заявлено еще в 19 веке немецким ученым и педагогом Ф.Клейном. Идея интересная, перспективная. Учителя с завидным упорством и большим интересом начали создавать опыт работы по новому учебнику. Но идея оказалась методически недостаточно обработанной. И учителя, и ученики встретили значительные трудности на этом пути. Мне представляется (я уверена), что эти трудности можно было преодолеть, целенаправленно и кропотливо создавая необходимую систему задач. (Напомню, что весьма своевременно в помощь учителю был издан «Сборник задач по геометрическим преобразованиям» Г.И. Саранцева.) Разумеется, были и другие погрешности, но все-таки две главные причины – это отсутствие надлежащей системы задач и отсутствие педагогического опыта.

Замечу, что стереометрию в то время изучали по учебнику З.А.Скопеца, в котором существенное место занимали геометрические преобразования, координаты и векторы. Этот учебник был достаточно привязан к учебнику А.Н.Колмогорова.

Не успели ни создать систему задач, ни накопить столь необходимый педагогический опыт. Учебник отменили, а вместе с ним отменили и саму идею, заложенную в нем. С сожалением хочу заметить, что при этом, критикуя учебник, писали не о геометрических преобразованиях как возможной идейной основе школьного курса математики. Писали о внешней, второстепенной стороне дела. К примеру, много разговоров, даже дискуссий было вокруг термина «конгруэнтные фигуры». Термин не нравился по двум причинам: мы к нему не привыкли и он иностранного происхождения. Ох, сколько в геометрии терминов иностранного происхождения (биссектриса, перпендикуляр и т.д. и т.д.)! Мы-то к ним давно привыкли, а вот привыкнуть еще к одному новому слову не хотим! Другое дело ученики: для них каждый термин новый, каждый приходится осваивать, запоминать, употреблять. Вот и получается, что дискуссия была на пустом месте (о чем впоследствии было немало написано).

Итак, учебник, написанный под руководством акад. А.Н.Колмогорова, отменили. Срочно вернулись к Евклиду. Тогда появился учебник А.В.Погорелова «Геометрия 7 - 11», а вслед за ним учебники геометрии для 7- 9 и 10 - 11 классов, написанных авторским коллективом (Л.С.Атанасян, Э.Г.Позняк и др.). Пожалуй, впервые появилась возможность работать по альтернативным учебникам. В свое время в нашей республике в конце учебного года была проведена контрольная работа по геометрии в 7 классах. Сообщая о результатах работы, учителя указывали, по какому учебнику они изучают геометрию. Запомнились два вывода: оба учебника применялись примерно в одинаковых количествах, а результат обучения не зависел от выбранного учебника. (К сожалению, это опыт не был повторен.)

Этими учебниками учителя нашей республики пользуются до сих пор. Но в основном сейчас геометрию изучают «по Атанасяну».

В настоящее время появилось следующее поколение школьных учебников: комплекты разнообразных учебников, созданных коллективами ленинградских (петербуржских) авторов, идейным вдохновителем которого был акад. А.Д. Александров; учебник И.Ф.Шарыгина; учебник Л.И.Звавича и Е.В.Потоскуева; переиздан учебник А.П.Киселева. В нашей республике отдельные учителя пробуют переходить на эти учебники, но очень осторожно. В целом же надо признать, что в смысле решения рассматриваемой проблемы осовременивания содержания школьной геометрии существенного продвижения вперед не наблюдается.

Специальное обучение математическому методу

Теперь перехожу еще к одной проблеме изложения школьного курса геометрии: я имею в виду его дедуктивное изложение. Прежде всего, хочу высказать два положения.

Во-первых, хорошо известно, что ключ к успехам математиков лежит в их методах, высоких стандартах их логических требований. Построение геометрии как аксиоматической теории, где дедуктивное доказательство является главным (если не единственным) методом, дающим уверенность в истинности изучаемых утверждений, идет еще со времен Евклида. Этот метод – гордость математической науки! Школьная геометрия – единственный пример аксиоматической теории, который рассматривается в школе.

Во-вторых, при изучении любого школьного предмета ставится цель усвоить не только факты (утверждения) той или иной науки, но и методы этой науки. Это означает, что при изучении геометрии школьники должны получить правильные, четкие представления об аксиоматическом методе и дедуктивном доказательстве.

 Теперь посмотрим, на какой позиции в решении этой проблемы стоят авторы школьных учебников. И снова два утверждения.

Первое. Одна из центральных проблем, которые решает автор при написании учебника, заключается в создании системы аксиом. Представляется, что для автора это серьезная проблема, поскольку необходимо сочетать научность изложения и возрастные возможности учащихся. Вопросы, возникающие при выборе системы аксиом для школьного курса геометрии, неоднократно обсуждались в методической литературе. В результате сравнительного анализа систем аксиом, так или иначе присутствующих в названных выше учебниках, у меня сложилось убеждение, что с позиции ученика эти системы аксиом (иначе: наборы первоначальных фактов) различаются несущественно. Ученик не может оценить значения отобранных автором фактов как исходных утверждений, на которых строится вся дальнейшая теория. Он может только запомнить, что какое-то утверждение считается первоначальным, а другое утверждение таковым не является. Запомнить это несложно, но вот понять …

Приведу пример. Рассмотрим два утверждения:

·        из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и при том только один;

·        через точку, не лежащую на прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Два весьма похожих утверждения: в каждом из их рассматривается взаимное положение двух прямых, в каждом говорится об единственности некоторой прямой; однако первое утверждение доказывается, а второе считается аксиомой. Почему такое различие? Как это может понять ученик седьмого класса?

Заметим также, что все другие школьные предметы ученик благополучно изучает, не имея никакой системы аксиом. Естественно возникает вопрос, так ли она необходима при изучении геометрии.

 Таким образом, если для автора создание системы аксиом является принципиально важной проблемой, от решения которой существенным образом зависит все дальнейшее построения курса, то для ученика роль системы аксиом остается скрытой, непонятной; изучая аксиомы, он лишь получает разрешение пользоваться этими фактами (не более того). Замечу кстати, что содержание каждой аксиомы ученикам хорошо понятно, вопрос заключается лишь в том, как этими аксиомами можно воспользоваться.

И теперь перехожу ко второму утверждению. Речь пойдет о дедуктивном доказательстве. Дело в том, что в учебниках приводятся готовые доказательства. Как автор придумал такое доказательство – такой вопрос скрыто (а иногда и явно) задает себе ученик, которому предлагается понять, запомнить и воспроизвести это доказательство. Как ученик может самостоятельно решить задачу на доказательство, т.е. самостоятельно придумать его? По каким правилам строится доказательство? На все эти вопросы авторы не дают ответа. У них на первом плане стройная система изложения самих геометрических фактов. Опять складывается парадоксальная ситуация: ученики учатся воспроизводить предложенные им доказательства, но не учатся доказывать их самостоятельно. Напрашивается аналогия: если я выучила наизусть сотню (тысячу) великолепных стихотворений, достаточно ли этого, чтобы научиться самой сочинять стихи?

С сожалением приходится констатировать, что и учителя следуют по этому же пути. Разумеется, на уроках это выглядит несколько иначе: учителя беседуют с учениками, раскрывая для них логику доказательства. Но опыт показывает, что такие фронтальные беседы малоэффективны: все ли ученики могут ответить на эти вопросы, почему учитель ставит именно такие вопросы, кто задаст вопросы ученику при выполнении самостоятельной работы… Короче говоря, логика доказательства остается неясной, невыявленной. Успешен тот, кто догадался. А кто не догадался, так и остается в полном недоумении: чего, мол, от меня хотят.

Учитель ставит перед школьниками цель научиться доказывать предлагаемые утверждения, говорит о необходимости уметь доказывать, приводит примеры доказательств, сообщает, что доказательства проводятся по определенным правилам. Но сами правила четко не формулируются, не становятся предметом специального усвоения. Ситуация примерно такова: мы даём ученику колоду карт, а правила игры не объясняем. Колода карт – это геометрические факты. А что же с ней можно делать? Что надо делать? Вместо того чтобы ответить на эти вопросы, мы лишь демонстрируем ученику, что сами знаем какие-то правила и потому вроде бы умеем играть. Картина довольно печальная. В результате решение геометрической задачи весьма часто представляет собой набор случайных фактов, связанных с сюжетом данной задачи, но не более, а обычный школьник не может решить даже задачу «в два действия» (по аналогии с первым классом).

Вот еще одна ситуация, типичная для школьного учебника геометрии. У любого автора есть примеры решенных задач. Они достаточно многочисленны. По-видимому, авторы ученикам дают некоторые образцы, на которые имеет смысл ориентироваться в процессе самостоятельного решения задач. С уверенностью могу утверждать, что эти решения (безусловно, правильные) образцами не являются

А теперь вывод, ради которого были приведены столь длинные рассуждения: в школьных учебниках на первом плане представлена лишь система геометрических фактов, логика и метод изложения геометрических фактов как предмет специального изучения не раскрываются, остаются скрытыми для ученика.

Для убедительности этого тезиса приведу еще два примера из одной и той же темы «Площадь», изучаемой в 8 классе по учебнику Л.С.Атанасяна и др. авторов. Пример первый. При выводе формул для вычисления площадей параллелограмма, треугольника и трапеции применяется некоторое преобразование чертежа, причем в каждом конкретном случае свое: для параллелограмма – перекраивание, для треугольника – достраивание, для трапеции – разрезание. Кроме того, соответствующие формулы получаются последовательно: формула площади треугольника получается из формулы площади параллелограмма, формула площади трапеции получается из формулы площади треугольника. При таком изложении для ученика остается неясным, как автор придумал способ преобразования чертежа, почему в каждом случае выполняются разные преобразования, почему формулы изучаются именно в такой последовательности. Ученику остается только одно: запомнить предложенное автором доказательство. (Замечу, что у других авторов система расположения материала и способ доказательства одинаковы, различие в нюансах).

Думаю, что этого мало. Имеется опыт, когда ученики самостоятельно придумывают доказательство. Для этого, вообще говоря, достаточно, чтобы ученики умели перекраивать многоугольники. В нашем опыте при изучении темы «Четырехугольники» мы научили школьников перекраивать три названные фигуры в прямоугольник разными способами; при введении понятия площади акцентировали их внимание на свойстве равносоставленных фигур быть равновеликими; этого оказалось достаточно, чтобы ученики самостоятельно и своим способом получили формулы площадей. Это был успех! Конечно, доказательство оказалось длиннее, чем в книге, но зато ученики справились с ним самостоятельно.

Второй пример касается списка задач, который имеется в этом параграфе. Сначала идут задачи про параллелограмм, затем про треугольник, а далее про трапецию, т.е имеется три комплекта задач, связанных сюжетом. При таком расположении материала предметом усвоения является та или иная формула, но не способ решения задачи. Целесообразно решать задачи в другой последовательности. Сначала решаем простые задачи (в одно действие), для того, чтобы ученики запомнили формулы. Далее решаем задачи в два действия (прежде чем применить формулу, надо вычислить какую-то недостающую величину). Затем переходим к задачам, в тексте которых ничего не говорится о площади, но именно площадь надо применить для ее решения. Получаются три группы задач, отличающихся своим назначением, способствующим осознанию способа их решения.

Таким образом, с одной стороны, поставлена цель обучать школьников не только системе фактов, но и методам, применяемым в данной науке; с другой стороны, школьные учебники практически не обеспечивают достижения этой цели. Таковы традиции, а в геометрии они сильны, как нигде (ведь «Начала» Евклида считаются наряду с «Библией» самой распространенной книгой на Земле).

Здесь уместно сказать, что в учебнике И.Ф.Шарыгина имеются специальные параграфы, посвященные отдельным методам, применяемым в геометрии (метод вспомогательной окружности, метод подобия и т.п.) В учебниках ленинградских авторов идея целенаправленного обучения методам явно прослеживается в системе задач. Бесспорно, прогрессивная тенденция.

Подведем итоги

Об авторах

Создавая учебник по геометрии для средней школы, любой автор решает массу важных и разнообразных проблем. Это очень ответственно и очень трудно. Видимо, поэтому совершенствование учебников, их изменение в нужном направлении идет медленно. Но все же идет!

Хочу заметить, что в любом школьном учебнике (не только геометрии) одинаково существенны две его составляющие: собственно содержание учебного предмета и его методическая обработка. А.П.Киселев был опытным учителем, и ему удалось создать учебники, которые пережили свое время. Вообще, участие опытных учителей в написании школьных учебников всегда играет положительную роль.

О читателях

Ученик – главный читатель школьного учебника. Опытный учитель целенаправленно учит школьников читать учебник, зная, что это совсем непросто. Как правило, школьник работает с учебником после объяснения учителя.

Учитель выступает здесь в роли посредника между автором и учеником. В помощь учителю издается комплект пособий. Здесь и учебная программа, и дидактические материалы, и специальные книги для учителя…

Представляется, что подобная специальная методическая литература, разъясняющая позицию автора школьного учебника, может быть адресована и родителям. Важно объяснить родителям, почему в учебнике появились те или иные новшества, изменения. В таком случае они станут единомышленниками и с авторами, и с учителями.

Сошлюсь на имеющийся опыт. В свое время, когда в семидесятые годы прошлого столетия наша школа переходила на новые программы, в помощь родителям была издана книга В.Г.Болтянского и Г.Г.Левитаса «Математика атакует родителей» (М., Издательство «Педагогика», 1973). В ней авторы беседуют с родителями. Беседуют о высказываниях и множествах, о тех новых идеях, которые заложены в новых курсах алгебры и геометрии.

Одна из бесед называется «Новое в школьной геометрии». Здесь приводятся примеры доказательств некоторых геометрических утверждений с помощью геометрических преобразований. Эти примеры несут троекратную нагрузку. Во-первых, читатели знакомятся с различными видами геометрических преобразований, в частности с осевой и центральной симметрией. Во-вторых, авторы показывают, каким образом геометрические преобразования могут применяться для доказательства утверждений. В-третьих, подобраны примеры, в которых традиционное, общепринятое доказательство существенно сложнее того, что предлагают авторы.

В этой же главе авторы пишут, что элементы теории множеств (о которых идет речь во второй беседе) служат для объединения курса алгебры и геометрии, позволяют создать у школьников единый взгляд на математическую науку. В частности, они помогают читателям разобраться, почему термин «геометрическое место точек» полезно заменить на термин «множество точек». Это важно: чтобы отказаться от известного термина, перейти на новый термин, нужны убедительные аргументы (переучиваться всегда трудно).

И еще: авторы подчеркивают, что в школе не стало учебного предмета под названием «Арифметика». С первого по шестой класс ученики изучают единый курс математики. В нем сочетаются и традиционные четыре арифметических действия, и элементы алгебры, и некоторые важные сведения из геометрии. В частности, речь идет о том, как важно детям научиться пользоваться чертежными инструментами.

Интересно, что в конце каждой беседы имеются домашние задания для родителей, а в конце книги – ответы и решения к этим заданиям. Завершается книга толковым словарем математических терминов из школьных учебников.

Полезная книга. Полезная идея писать для родителей. К сожалению, других книг, специально обращенных к родителям, мне неизвестно.